Если в параллелограмме 2 соседние стороны равны. Параллелограмм. Свойства биссектрисы параллелограмма

Определение

На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).

Рис. 157

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС - общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.

∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.

Рис. 159

Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.

Рис. 160

Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.

Признаки параллелограмма

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158).

Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CD А. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС - общая сторона, АВ = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ∠3 = ∠4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD || ВС.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС - общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует1, что АВ || CD.

Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами (рис. 161).

Рис. 161

Трапеция называется равнобедренной , если её боковые стороны равны (рис. 162, а).

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 162, б).

Рис. 162

Задачи

371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:

a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠D АС;
б) АВ || CD, ∠A = ∠C.

372. Периметр параллелограмма равен 48 см.

Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.

373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

376. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если:

a) ∠A = 84°;
б) ∠A - ∠B = 55°;
в) ∠A+∠C = 142°б
д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.

377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм.

380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О 1 А и О 2 В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О 1 О 2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О 1 О 2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рис. 163

382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, - параллелограмм.

383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм.

384. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение

Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1=∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.

Рис. 164

385. Докажите теорему Фалеса 1 : если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 , ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках В 1 , В 2 , В 3 , В 4 , ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 , ... равны друг другу. Докажем, например, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l 1 , и l 2 параллельны (рис. 165, а). Тогда A 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 = В 2 В 3 как противоположные стороны параллелограммов А 1 В 1 В 2 А 2 и А 2 В 2 В 3 А 3 . Так как А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 . Если прямые l 1 и l 2 не параллельны, то через точку В 1 проведём прямую l, параллельную прямой l 1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С и D. Так как А 1 А 2 = А 2 А 3 , то по доказанному B 1 C = CB. Отсюда получаем: B 1 B 2 = B 1 B 3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В 2 В 3 = В 3 В 4 и т. д.

Рис. 165

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 . Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M 2 N 2 и M 3 N 3 (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

Рис. 166

Доказательство

По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD - параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 , т. е. параллелограмм ABCD - искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).

394. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

395. Даны острый угол hk и два отрезка P 1 Q 1 и P 2 Q 2 . Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P 1 Q 1 , AB = P 2 Q 2 и ∠A = ∠ hk.

396. Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение

Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА 1 , А 1 А 2 , ..., А n-1 А n (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 п = 5). Проведём прямую А n B (точка А n - конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А 1 , А 2 , ..., А n-1 и параллельные прямой АпВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В 1 В 2 , ..., B n-1 которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.

Рис. 167

397. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

398. Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.

Ответы к задачам

372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см.

373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см.

375. 56 см или 70 см.

376. a) ∠B = ∠B = 96°, ∠C = 84°; б) ∠А = ∠C = 117°30"; ∠B = ∠D= 62°30"; в) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D =109°; г) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; д) ∠A = ∠C= 53°, ∠B = ∠D = 127°.

377. MN = PQ = 6 cm, NP = QM = 8cm, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.

379. Указание. Сначала доказать, что BK = DM.

380. Указание. Воспользоваться признаком 2 0 , п. 44.

382. Указание. Воспользоваться признаком 3 0 , п. 44.

383. Указание. Воспользоваться признаком 2 0 , п. 44.

386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385.

387. ∠B= 144°, ∠D = 63°. 388. Указание. а) Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне.

389. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали.

390. 68°, 112°, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 388, а.

391. Указание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной прямой с большим основанием другой плитки.

392. а) 6 см; б) 5см.

395. Указание. Воспользоваться задачей 284.

1 Фалес Милетский - древнегреческий учёный (ок. 625-547 гг. до н. э.).

Решение задания Гл.V №393 такое:
а) Сначала строим одну из заданных сторон АВ, и в точке А проводим луч под данным углом к стороне АВ. С помощью циркуля откладываем отрезок АС, равный второй заданной стороне параллелограмма. Так как в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то
проведя через точку С прямые параллельные построенным сторонам в точке их пересечения D получим четвертую вершину искомого параллелограмма АСDВ.

б) Проводим две прямые под заданным углом между
диагоналями. С помощью циркуля, из точки пересечения
О, проводим две окружности, радиусами равными поло-
вине длины заданной диагонали. Из свойства 2°, п. 43
учебника следует, что точки их пересечения с прямыми
будут вершинами искомого параллелограмма.


в) Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 .
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.


Ясно, что если по трём данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какойто из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя.

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .

Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .

Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .

Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .

Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.

2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\) .

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .

3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .