Как решаются логарифмические уравнения. Некоторые методы решения логарифмических уравнений. Переход к новому основанию

Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение :

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4

Так как log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Проверка:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7

Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Проверка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.

Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Если log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени ().

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2

Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Если log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Если log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log 2 (......)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log 2 2

log с (ab) = log с a + log с b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаем:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Если log c a = log c b, то a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,

корни равны 6 и – 4.

Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Примеры:

\(\log_{2}{⁡x} = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10=11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические уравнения:

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).

\(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример: \(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Проверка: \(10>2\) - подходит по ОДЗ Ответ: \(x=10\)

ОДЗ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

Вы написали для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

Число (или выражение) в слева и справа одинаково;

Логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.

Пример . Решить уравнение \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ОДЗ: \(x>0\)		Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени \(x\) по свойству: \(n \log_b{⁡a}=\log_b⁡{a^n}\). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a{⁡bc}\)
\(\log_8⁡{x^2}=\log_8⁡25\)		Мы привели уравнение к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду \(f(x)=g(x)\).
		Получилось . Решаем его и получаем корни.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(5\) и \(-5\). Эту операцию можно выполнить устно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Первое неравенство верное, второе – нет. Значит \(5\) – корень уравнения, а вот \(-5\) – нет. Записываем ответ.

Ответ : \(5\)

Пример : Решить уравнение \(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\) ОДЗ: \(x>0\)		Типичное уравнение, решаемое с помощью . Заменяем \(\log_2⁡x\) на \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получили обычное . Ищем его корни.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Делаем обратную замену
\(\log_2{⁡x}=2\) \(\log_2{⁡x}=1\)		Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2{⁡x}=\log_2⁡4\) \(\log_2{⁡x}=\log_2⁡2 \)		Теперь наши уравнения имеют вид \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), и мы можем выполнить переход к \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(4\) и \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Оба неравенства верны. Значит и \(4\) и \(2\) корни уравнения.

Ответ : \(4\); \(2\).

Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

1. сделать замену переменной;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать обратную замену;
4. решить полученное уравнение;
5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4. Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

1. прологарифмировать уравнение;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
   корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.

1. Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
2. Проанализировать левую и правую часть уравнения.
3. Сделать соответствующие выводы.

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.

ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем

Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного решения:

Используемая литература.

1. Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
2. Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. (задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
5. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

называют логарифмической функцией .

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log a x :

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :

Свойства логарифмов

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

С учетом того, что

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

ql-right-eqno">

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

ql-right-eqno">

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x );
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.