Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y) . Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М 0 , М 1 , М 2 , ... М n = B. Затем на каждой из полученых частей \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) выберем любую точку \(\bar{{M}_{i}}\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\)и составим сумму $${S}_{n}=\sum_{i=1}^{n}f\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\Delta {l}_{i}$$ где \(\Delta{l}_{i}={M}_{i-1}{M}_{i}\) - дуга дуги \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\). Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y) , заданой на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) (таким образом, d = \(max_{i}\Delta{l}_{i}\)). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек \(\bar{{M}_{i}}\)), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается $$\int_{L}f(x,y)dl$$
Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный интеграл \(\int_{L}f(x,y)dl\) существует.
Свойства криволинейного интеграла 1 рода
Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:
- аддитивность,
- линейность,
- оценка модуля,
- теорема о среднем.
Однако есть отличие: $$\int_{AB}f(x,y)dl=\int_{BA}f(x,y)dl$$ т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
- Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x \(\in \) , то $${\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_a^b {f\left({x,y\left(x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}} dx} ;}$$ при этом выражение \(dl=\sqrt{{1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}}} dx \) называется дифференциалом длины дуги.
- Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left ({x\left(t \right),y\left(t \right)} \right)\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$ Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). В этом случае, если f(x,y,z) - непрерывная функция вдоль кривой L, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y,z} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left [ {x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)} \right ]\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({z"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$
- Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left({r\cos \varphi ,r\sin \varphi } \right)\sqrt {{r^2} + {{{r}"}^2}} d\varphi}} $$
Криволинейные интегралы 1 рода - примеры
Пример 1
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
$$ \int_{L}\frac{x}{y}dl $$ где L дуга параболы y 2 =2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).
Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой \(y=\sqrt{2x}\). Имеем:
\({y}"=\frac{1}{\sqrt{2x}} \) $$ dl=\sqrt{1+\left ({y}" \right)^{2}} dx= \sqrt{1+\left (\frac{1}{\sqrt{2x}} \right)^{2}} dx = \sqrt{1+ \frac{1}{2x}} dx $$ Следовательно данный интеграл равен: $$\int_{L}\frac{x}{y}dl=\int_{2}^{8}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx= \int_{2}^{8}\frac{x\sqrt{1+2x}}{2x}dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int_{2}^{8}\sqrt{1+2x}dx = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left (1+2x \right)^{\frac{3}{2}}|_{2}^{8}= \frac{1}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}) $$
Пример 2
Вычислить криволинейный интеграл первого рода \(\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl \), где L - окружность x 2 +y 2 =ax (a>0).
Решение: Введем полярные координаты: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Тогда поскольку x 2 +y 2 =r 2 , уравнение окружности имеет вид: \(r^{2}=arcos\varphi \), то есть \(r=acos\varphi \), а дифференциал дуги $$ dl = \sqrt{r^2+{2}"^2}d\varphi = $$ $$ =\sqrt{a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi }d\varphi=ad\varphi $$.
При этом \(\varphi\in \left [- \frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ] \). Следовательно, $$ \int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl=a\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}acos\varphi d\varphi =2a^2 $$
Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида
соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz . имеем
6− ρ 2 |
||||
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z |
6 ρ − ρ 2 d ρ = |
|||
4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =
2 d ϕ = |
|||||||||||||||||
4 ∫ 2 (3 ρ 2 − |
∫ 2 d ϕ = |
32π |
|||||||||||||||
Если не учитывать симметрию, то |
|||||||||||||||||
6− ρ 2 |
32π |
||||||||||||||||
V = ∫ |
dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = |
||||||||||||||||
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.
3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f (x, y) определена вдоль плоской кусочно-
гладкой1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 ,... M n = B . На
каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку (x i , y i ) и вычислим значения функции f (x, y) в каждой из этих точек. Сумма
1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
n− 1 |
|
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i , |
i = 0
где∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой
для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин |
|||
частичных дуг M i M i + 1 , i = |
|||
0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i . |
|||
0 ≤i ≤n −1 |
|||
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) |
|||
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 , |
|||
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от |
|||
выбора точек (x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x , y ) dl .
Таким образом, по определению |
||
n− 1 |
||
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl. |
||
λ → 0 i = 0 |
||
Функция f (x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,
кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В - конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.
Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x , y ) ≡ 1 для (x , y ) L , то
получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа
l = ∫ dl.
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует, |
||||
dl = lim n − 1 |
||||
∆l |
Lim l = l . |
|||
λ → 0 ∑ |
λ→ 0 |
|||
i = 0 |
||||
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа |
||||
аналогичны свойствам определенного интеграла: |
||||
1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl. |
||||
2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа. |
||||
и L , не |
||||
3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L |
||||
имеющие общих внутренних точек, то
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.
4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x , y ) в
произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,
независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть
f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl . |
|||
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа |
|||
сводится к вычислению определенных интегралов. |
|||
x= x(t) |
|||
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями |
y= y(t) |
||
Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
концу (точка В ) |
[α , β ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x (t ), y (t ) и |
производные |
x (t), y (t) |
Непрерывны, |
f (x , y ) - |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций одной переменной известно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = (x (t)) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x (t ) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.1. |
Вычислить |
окружности |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x= a cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ t ≤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y= a sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и по формуле (3.4) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Cos 2t )dt = |
sin 2t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a |
3 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
πa 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
sin π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
L задана |
уравнением |
y = y(x) , |
a ≤ x ≤ b |
y(x) |
||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной y |
(x ) при a ≤ x ≤ b , то |
|||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (y (x )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x)) |
||||||||||||||||||||
(y (x )) |
||||||||||||||||||||
L задана |
x = x(y), c ≤ y ≤ d |
x (y ) |
||||||||||||||||||
уравнением |
||||||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то |
||||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (x (y )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y) |
||||||||||||||||||||
1 + (x (y )) |
||||||||||||||||||||
Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы |
2 x от |
|||||||||||||||||||
точки А (0,0) до точки В (2,2). |
||||||||||||||||||||
Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя |
||||||||||||||||||||
формулы (3.5) и(3.6) |
||||||||||||||||||||
1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как |
||||||||||||||||||||
2x (y ≥ 0), y ′ |
||||||||||||||||||||
2 x = |
2 x , |
dl = |
1+ 2 x dx , |
|||||||||||||||||
3 / 2 2 |
||||||||||||||||||||
1 (5 |
3 2 − 1) . |
|||||||||||||||||||
∫ ydl = ∫ |
2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx = |
1 (2x + 1) |
||||||||||||||||||
2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как |
||||||||||||||||||||
x = 2 , x |
Y, dl |
1 + y |
||||||||||||||||||
y 1 + y 2 dy = |
(1 + y |
/ 2 2 |
||||||
∫ ydl = ∫ |
||||||||
3 / 2 |
||||||||
1 3 (5 5 − 1).
Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x , y , z ) по
пространственной кусочно-гладкой кривой L :
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
α ≤ t ≤ β , то
dl = |
||||||||||||||||
(x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
∫ f (x, y, z) dl = |
||||||||||||||||
= ∫ |
dt . |
|||||||||||||||
f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
x= x(t) , y= y(t)
z= z(t)
Пример 3.3. Вычислить∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой
x= t cos t |
0 ≤ t ≤ 2 π. |
|
y = t sin t |
||
z = t |
||
x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 , |
||
dl = |
(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt = |
|
Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =
2 + t2 dt .
Теперь по формуле (3.7) имеем
∫ (2z − |
x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t − |
t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
T 2 ) |
||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t 2 + t |
dt = |
4 π |
− 2 2 |
||||||||||||||||||
цилиндрической |
поверхности, |
|||||||||||||||||||||
которая составлена из перпендикуляров к |
||||||||||||||||||||||
плоскости xOy , |
восстановленных в точках |
|||||||||||||||||||||
(x , y ) |
L = AB |
и имеющих |
||||||||||||||||||||
представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ (x , y )
линейная плотность которой меняется по закону ρ (x , y ) = 2 y .
Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как
1+ t |
dt , |
|||||||||||||||||||
x (t) = 1, y (t) = t , dl = |
||||||||||||||||||||
3/ 2 1 |
||||||||||||||||||||
1 (1+ t |
||||||||||||||||||||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt = |
|||||||||||||||||||
(2 3 / 2 − |
1) = |
2 2 − 1. |
||||||||||||||||||
3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по |
||||||||||||||||||||
координатам ). Пусть функция |
f (x , y ) определена вдоль плоской |
|||||||||||||||||||
кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять |
||||||||||||||||||||
произвольным |
разобьем |
кривую L |
||||||||||||||||||
M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах |
каждой частичной |
|||||||||||||||||||
дуги M i M i + 1 |
произвольную точку |
(xi , yi ) |
и вычислим |
Криволинейный интеграл 2-ого рода вычисляется так же, как криволинейный интеграл 1-ого рода сведением к определённому. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование. а) Если линия АВ задана системой уравнений то
Для плоского случая, когда кривая задана уравнением Если линия АВ задана параметрическими уравнениями то
Для плоского случая, еслилиния АВ
задана параметрическими уравнениями , (10.6) где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования. Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги. Пример 10.1
Вычислим криволинейный интеграл  . Сведём оба интеграла к определённым. Часть контура задана уравнением относительно переменной  . Воспользуемся формулой (10.4
), в которой поменяем ролями переменные. Т.е.
Для вычисления интеграла по контуру ВС перейдём к параметрической форме записи уравнения эллипса и воспользуемся формулой (10.6). Обратите внимание на пределы интегрирования. Точке Пример 10.2. Вычислим вдоль отрезка прямой АВ , где А(1,2,3), В(2,5,8). Решение
. Задан криволинейный интеграл 2-ого рода. Для вычисления необходимо преобразовать его в определённый. Составим уравнения прямой. Её направляющий вектор имеет координаты Канонические уравнения прямой АВ: Параметрические уравнения этой прямой: При Воспользуемся формулой (10.5) : Вычислив интеграл, получим ответ: 5. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку вдоль кривой . Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой . (10.7)
Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода Пример 10.3.
Вычислим работу, производимую вектором Решение . Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3).  .
Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: Т.к. точка перемещается по кривой
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции: ( - знак + указывает на то, что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки) Вычислим интеграл и получим ответ: Занятие 11 . Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи). ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4. Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139. Домашнее здание к занятию 11 : ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140 Формула Грина. Пусть на плоскости
Теорема
. Если функции
- формула Грина . (11.1) Обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки). Пример 11.1.
Используя формулу Грина, вычислим интеграл
 ,  ;  ,  . Функции и их производные непрерывны в замкнутой области, ограниченной данным контуром. По формуле Грина данный интеграл .
После подстановки вычисленных производных получаем
Проверим ответ, вычислив интеграл непосредственно по контуру как криволинейный интеграл 2-ого рода.
Ответ
: 2. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования . Пусть Имеют место следующие теоремы. Теорема 1
. Для того, чтобы интеграл Теорема 2.
. Для того, чтобы интеграл Таким образом, если выполняются условия независимости интеграла от формы пути (11.2) , то достаточно указать только начальную и конечную точки: (11.3) Теорема 3.
Если в односвязной областивыполняется условие Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла. Замечание.
Напомним, что равенство Тогда из выше сформулированных теорем следует, что если функции а) существует функция в) имеет место формула Ньютона – Лейбница . Пример 11.2
. Убедимся в том, что интеграл Решение. .
 Проверим выполнение условия (11.2) .  . Как видим, условие выполнено. Значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Выберем путь интегрирования. Наиболее
простым путём для вычислений является ломаная линия АСВ , соединяющая точки начала и конца пути. (См. рис. 11.3) Тогда
3. Нахождение функции по её полному дифференциалу . С помощью криволинейного интеграла, который не зависит от формы пути, можно найти функцию
Вычислим
 с конкретными координатами и точку  с произвольными координатами. Вычислим криволинейный интеграл по ломаной, состоящей из двух отрезков прямых, соединяющих эти точки, причём один из отрезков параллелен оси , а другой – оси . Тогда . (См. рис. 11.4)
Уравнение . Уравнение . Получаем: Вычислив оба интеграла, получаем в ответе некоторую функцию б) Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона – Лейбница. Теперь сравним два результата вычисления одного и того же интеграла. Функциональная часть Пример 11.3.
Убедимся в том, что выражение Решение.
Условие существования функции Как было сказано выше, функциональная часть полученного выражения и есть искомая функция Проверим результат вычислений из примера 11.2 по формуле Ньютона –Лейбница: Результаты совпали. Замечание. Все рассмотренные утверждения верны и для пространственного случая, но с большим количеством условий. Пусть кусочно-гладкая кривая принадлежит области в пространстве а) выражение является полным дифференциалом некоторой функции б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции в) имеет место формула Ньютона – Лейбница .(11.6 ) Пример 11.4
. Убедимся в том, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции Решение.
Для ответа на вопрос о том, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке пространства Видим, что выполняются необходимые и достаточные условия существования Для вычисления функции
 ,  ,  .
Тогда
В итоге получаем: . Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона-Лейбница. Приравняем результаты: . Из полученного равенства следует, что , а Занятие 12. Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства. Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести . ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11. Практика : ОЛ-6 №№ 2347, 2352, 2353 или ОЛ-5 №№ 10.62, 65, 67. Домашнее задание к занятию 12: ОЛ-6 №№ 2348, 2354 или ОЛ-5 №№ 10.63, 64, 68. Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для нахождения работы силы F при перемещении вдоль дуги линии L .Криволинейные и поверхностные интегралы второго родаРассмотрим многообразие σ . Пусть τ(x,y,z) - единичный вектор касательной к σ , если σ - кривая, а n(x,y,z) - единичный вектор нормали к σ , если σ - поверхность в R 3 . Введём векторы dl = τ · dl и dS = n · dS , где dl и dS - длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности. Будем считать, что dσ =dl , если σ - кривая, и dσ =dS , если σ - поверхность. Назовём dσ ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.Определение
. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1), ... ,M n (x n ,y n ,z n). Посчитаем значения F(x i ,y i ,z i), i=1,2,...,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру dσ
i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ - поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов
и для криволинейного интеграла второго рода имеем
где Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле
Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго родаОтметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.Теорема 1 . Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее  .
Теорема 2 . Пусть σ=σ 1 ∪σ 2 и размерность пересечения dlim(σ 1 ∩σ 2)=n-1 . Тогда
Пример №1
. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M 0 до точки M 1 .
Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом: Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D . Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.  а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :
Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :
Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:
Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :
Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:
б) Применим формулу Грина. Так как
Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее. Пример 2.
где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) .  Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:
Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
 Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат. 
Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС 77 - 57771 от 18.04.2014.
| ||||||||||||||||
(10.3)
криволинейный интеграл вычисляется по формуле: . (10.4)
(10.5)
, криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
вдоль контура, состоящего из части кривой 
от точки 
до 
и дуги эллипса 
от точки 
.
. После вычисления получим 
.
соответствует значение , а точке 
соответствует 
Ответ: 
.
.
.
, 
.
.
задан вектор, имеющий непрерывные функции-координаты: . Разобьём эту кривую на малых частей точками 
так, чтобы в точках каждой части 
значение функций 
можно было считать постоянными, а сама часть 
могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 10.1). Тогда 
. 
, на прямолинейный вектор перемещения численно равно работе, которую совершает сила при перемещении материальной точки вдоль 
. В пределе при неограниченном увеличении числа разбиений получим криволинейный интеграл 2-ого рода
- это работа, произведённая силой 
при перемещении материальной точки от А
к В
по контуру L
.
при перемещении точки вдоль части кривой Вивиани, заданной как пересечение полусферы 
и цилиндра 
, пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.
.
, то удобно в качестве параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так, что 
. Тогда получаем следующие 
.При этом 
.
.
дана односвязная область , ограниченная кусочно- гладким замкнутым контуром . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области).
и их частные производные 
Г
, то
по контуру, состоящему из отрезков OA, OB
и большей дуги окружности 
, соединяющей точки A
и B,
если 
, 
, 
.
Решение
. Построим контур 
(см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.
. Двойной интеграл вычислим, переходя к полярным координатам: 
.
.
.
и 
- произвольные точки односвязной области пл. 
. Криволинейные интегралы, вычисленные по различным кривым, соединяющим эти точки, в общем случае имеют различные значения. Но при выполнении некоторых условий все эти значения могут оказаться одинаковыми. Тогда интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек.
не зависел от формы пути, соединяющего точки и , необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.
по любому замкнутому контуру был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции 
(11.2)
такая, что . (11.4)
непрерывны в замкнутой области Г
, в которой даны точки 
, и 
не зависит от формы пути, и вычислим его.
.
Если функции 
, то выражение является полным дифференциалом некоторой функции 
, во-первых, не зависит от формы пути и, во-вторых, может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница.
.
.
является полным дифференциалом некоторой функции 
точку 
. Составим и вычислим интеграл по ломаной АСВ,
где 
:
.
. Тогда, если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области , в которой даны точки 
и 
, и 
(11.5
), то
,
, 
. (См. (11.5)
) 
; 
; 
; 
; 
; 
.
.
, 
, 
, ч. т. д.
- начало пути, а некоторая точка 
- конец пути.
Вычислим интеграл
по контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям. (см.рис.11.5).
.
, x
здесь зафиксирован, поэтому 
,
, здесь зафиксирован y
, поэтому 
.
соответственно.
- якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций 
соответственно.
,
.
.
,
, то
. У нас есть всё для того,
чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:
,
,
если L
- контур, который образуют линия
y
= 2 − |x
|
и ось
Oy
.