Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения.
Шаги
Вычисление дисперсии выборки
Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
- Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
- Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
Выборочное среднее x̅ = 14. - Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
- В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .
- В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.
Вычисление дисперсии совокупности
-
Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
Найдите среднее значение полученных результатов. Вы нашли, как далеко каждое значение совокупности расположено от ее среднего значения. Найдите среднее значение суммы квадратов разностей, поделив ее на количество значений в генеральной совокупности.
-
Соотнесите это решение с формулой. Если вы не поняли, как приведенное выше решение соотносится с формулой, ниже представлено объяснение решения:
- Находим разность между каждым значением и средним значением совокупности, а затем возводим каждую разность в квадрат, то есть получаем ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} , ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} и так далее вплоть до ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
- Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
- Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.
При решении практических задач могут встретиться случайные величины, имеющие разные распределения, но одинаковые математические ожидания. При этом у одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, у других, наоборот, могут быть значительными. Иначе говоря, у величин может быть разный разброс значений вокруг математического ожидания.
Например, для двух дискретных случайных величин, заданных следующими законами:
| Х | -1 | и | Y | -100 | ||||
| Р | 0,3 | 0,4 | 0,3 | Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
математические ожидания равны, т.е. М (Х )=М (Y )=0. Однако, понятно, что это разные случайные величины и, прежде всего, они отличаются разбросом значений по оси абсцисс слева и справа от точки 0 – своего математического ожидания.
Приведенные рассуждения говорят о том, что было бы целесообразно ввести в рассмотрение некоторую числовую характеристику, связанную с разбросом. На первый взгляд может показаться, что такой характеристикой может быть среднее значение всех отклонений возможных значений случайной величины от математического ожидания.
Отклонением случайной величины Х от своего математического ожидания М (Х ) называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Очевидно, что отклонение также является случайной величиной. Найдем среднее значение отклонения, т.е. математическое ожидание отклонения, получим M (X – M (X )) = M (X ) – M (M (X )) = M (X ) – M (X ) = 0.
Итак, математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю. Этот факт можно объяснить также тем, что возможные значения отклонения имеют как положительные, так и отрицательные знаки, поэтому при нахождении среднего значения (математического ожидания) слагаемые взаимно уничтожаются. Избежать этого можно, убрав отрицательные знаки значений отклонения. Для этого эти значения либо берут по абсолютной величине, либо возводят в квадрат. Первый путь используется крайне редко, так как работа с абсолютными величинами вызывает, как правило, серьезные трудности, например, при дифференцировании. Поэтому в качестве характеристики разброса используют математическое ожидание квадрата отклонения.
Дисперсией D (X ) случайной величиныХ называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от своего математического ожидания, т.е.
D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ] (6.4)
Само слово "дисперсия" означает "рассеивание".
Нетрудно понять, что вероятности значений случайных величин Х и (X – M (X )) 2 одинаковы. Для того, чтобы величина (X – M (X )) 2 приняла значение, например, (х 1 – M (X )) 2 , достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х 1 . Вероятность этого события равна р 1 , следовательно, и вероятность того, что величина (X – M (X )) 2 примет значение (х 1 – M (X )) 2 также равна р 1 . Аналогично обстоит дело и с остальными возможными значениями. Поэтому формула (6.4) с учетом определения математического ожидания случайной величины примет вид:
для дискретной случайной величины с конечным множеством значений
для непрерывной случайной величины
(6.6)
Несобственный интеграл в формуле (6.6) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку , если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.
Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, в отличие от дисперсии, которая имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Таким образом, дисперсия характеризует не сам разброс, а квадрат разброса значений случайной величины. Для того чтобы определить сам средний разброс находят квадратный корень из дисперсии и получают новую числовую характеристику, называемую среднеквадратическим отклонением.
Среднеквадратическим отклонением σ (Х ) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии, т.е.
.
Пример 6.6 . Найти дисперсию дискретной случайной величины, заданной следующим рядом распределения
После вычислений, получим
| (Х - М (Х )) 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Найдем математическое ожидание полученной случайной величины: D (X ) = M [(X – M (X )) 2 ]=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. ■
Пример 6.7 . Найти дисперсию непрерывной случайной величины, заданной своей функцией плотности: f (x )=0,5x при х Î(0,2); для остальных х функция плотности равна нулю.
Решение . По формуле (6.2) найдем математическое ожидание, получим
По формуле (6.6) найдем дисперсию, при этом несобственный интеграл превратится в определенный по заданному промежутку (0,2):
. ■
Для вычисления дисперсии часто применяется другая формула, которая легко получается из формулы (6.4).
Теорема 6.1. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания:
D (X ) = M (X 2) – M 2 (X ) (6.7)
Доказательство. Преобразуем формулу (6.4), используя свойства математического ожидания, получим
Теорема доказана.
Пример 6.8 . Решим пример 6.6, используя формулу (6.7). Математическое ожидание было найдено, оно равно М (Х )=2,3. Теперь найдем закон распределения величины Х 2 , получим
| Х 2 | |||
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Найдем М (Х 2) = 1·0,3 + 4·0,5 + 25·0,2 = 7,3. Тогда дисперсия равна
D (Х ) = 7,3 – (2,3) 2 = 2,01. ■
Очевидно, что применение формулы (6.7) значительно упрощает процесс нахождения дисперсии. Понятно, что эту же формулу можно применять и для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.
Свойства дисперсии
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D (C ) = 0, где С – постоянная величина.
Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойства математического ожидания, получим
D (С ) = M [(С – M (С )) 2 ]= M [(С – С ) 2 ] =М (0)= 0.
Этот результат достаточно очевиден, так как постоянная величина принимает всего одно значение, поэтому разброс значений отсутствует.
Свойство доказано.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D (СX ) = С 2 D (X ).
Доказательство . По определению дисперсии с использованием свойств математического ожидания, получим
D (СХ ) = M [(СХ – M (СХ )) 2 ]= M [(СХ – СM (Х )) 2 ]= M [С 2 (Х – M (Х )) 2 ]=
= С 2 M [(Х – M (Х )) 2 ]= С 2 D (X ).
Свойство доказано.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е., если величины Х и Y независимы, то
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ).
Доказательство . Для доказательства применим формулу (6.7) и свойства математического ожидания, получим
D (X+Y ) = M ((X+Y ) 2) – M 2 (X+Y )= M (X 2 +2XY+Y 2) – (M (X+Y )) 2 =
= M (X 2) + M (2XY ) + M (Y 2) – (M (X )+M (Y )) 2 = M (X 2) + 2M (X )M (Y ) + M (Y 2) – – M 2 (X ) –2M (X )M (Y ) - M 2 (Y ) = M (X 2) – M 2 (X ) + M (Y 2) – M 2 (Y ) = D (X ) + D (Y ).
Свойство доказано.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых величин равна сумме дисперсий этих величин.
Доказательство можно провести методом математической индукции.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D (X – Y ) = D (X ) + D (Y ).
Доказательство . Применяя второе и третье свойства дисперсии, получим D (X – Y ) = D (X ) + D (– Y ) = D (X ) + (–1) 2 D (Y ) = D (X ) + D (Y ).
Свойство доказано.
Доказанное свойство также легко распространить на любое конечное число независимых случайных величин.
Пример 6.9 . Найти дисперсию дискретной случайной величины Х , равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р .
Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях.
Введем в рассмотрение еще n случайных величин:
Х 1 – число появлений события А в первом испытании;
Х 2 – число появлений события А во втором испытании;
…………………………………………………………….
Х n – число появлений события А в n – ом испытании.
Очевидно, что Х =Х 1 +Х 2 +…+Х n . Величины Х 1 , Х 2 , …, Х n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. Воспользуемся следствием четвертого свойства дисперсии, получим
D (X ) = D (X 1) + D (X 2) + …+ D (X n).
Найдем дисперсию величины Х 1 . Ряд распределения этой величины имеет вид:
| Х 1 | ||
| Р | 1−р | р |
Тогда М (Х 1) = р ; М (Х 1 2) = р ; D (X 1) = р – р 2 = р (1 – p )=pq .
Очевидно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq . Поэтому
D (X ) = D (X 1)+D (X 2)+…+D (X n) = npq . ■
Если исследуется некоторая случайная величина, у которой значения являются достаточно большими числами, то существует возможность перейти от этой величины к более простым величинам, называемым центрированной и стандартной.
В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.
1. Математическое ожидание неслучайной величины
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
.
2. Дисперсия неслучайной величины
Если - неслучайная величина, то
3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания
, (10.2.1)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.
Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
.
4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
, (10.2.2)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
,
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин
Докажем, что для любых двух случайных величин и
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:
.
Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :
;
следовательно,
.
Аналогично докажем, что
,
и теорема доказана.
б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)
. (10.2.4)
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
;
аналогично
,
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
, (10.2.5)
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
6. Математическое ожидание линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :
где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что
, (10.2.6)
т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:
.
7. Дисп ep сия суммы случайных величин
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
,
(10.2.10)
где
-
корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование
распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин 
.
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:
, (10.2.11)
где
двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы
величин ,
содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины , входящие в систему,
некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:
, (10.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
8. Дисперсия линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.
где - неслучайные величины.
Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой
, (10.2.13)
где - корреляционный момент величин , .
Доказательство. Введем обозначение:
. (10.2.14)
Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:
где - корреляционный момент величин :
.
Вычислим этот момент. Имеем:
;
аналогично
Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).
В частном случае, когда все
величины некоррелированны,
формула (10.2.13) принимает вид:
, (10.2.16)
т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
9. Математическое ожидание произведения случайных величин
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин
Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии
Так как величины независимы, и
При независимых величины тоже независимы; следовательно,
,
Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
11. Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
Доказательство.
откуда по теореме умножения математических ожиданий
Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
где - дисперсии величин и .
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
так как М(Х)
, 2 и
–
постоянные величины. Таким образом,
4.2.2. Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.
Доказательство
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то
Доказательство
. Обозначим
.
Тогдаи.
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
Пример 4.5.
Еслиa
иb
– постоянные,
тоD(a
Х+
b
)=
D
(a
Х)+
D
(b
)=
.
4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия, как
характеристика разброса случайной
величины, имеет один недостаток. Если,
например, Х
– ошибка измерения имеет размерность
ММ
,
то дисперсия имеет размерность
.
Поэтому часто предпочитают пользоваться
другой характеристикой разброса –средним
квадратическим отклонением
,
которое равно корню квадратному из
дисперсии
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:
Так как опыты независимы, то и связанные
с опытами случайные величины
независимы. А в силу независимости
имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)
|
| ||
и
(пример 4.4). Поэтому, по определению
дисперсии:
где q =1- p .
В итоге имеем
,
Среднее квадратическое отклонение
числа появлений события в n
независимых опытах равно
.
4.3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным
моментом
k
Х
(
)
называется математическое ожиданиеk
-й
степени этой случайной величины.
Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F
(х)
для
полученного распределения дискретной
случайной величиныХ
и начертить
ее график. Найти математическое ожиданиеM
(X
)
,
дисперсиюD
(X
)
и среднее квадратическое отклонение
(Х
)
случайной величиныX
.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:
Получим вероятности возможных значений Х :;
Составим искомый закон распределения случайной величины Х :
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
2) Если х
0,
то F
(х)
=0.
Действительно, значений, меньших нуля,
величина Х
не принимает. Следовательно, при всех
х
0
, пользуясь определениемF
(х)
,
получим F
(х)
=P
(X
x
)
=0
(как вероятность невозможного события).
Если 0
,
тоF
(X
)
=0,216.
Действительно, в этом случаеF
(х)
=P
(X
x
)
=
=P
(-
X
0)+
P
(0X
x
)
=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X . Но вероятность событияХ Х лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.
Если 1
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2
,
то рассуждая аналогично, получимF
(х)
=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х
=3. ТогдаF
(3)=P
(X
выражает вероятность событияX
F
(х)
.
Если x
>3, тоF
(х)
=0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Действительно, событиеX
является
достоверным и вероятность его равна
единице, аX
>3 –
невозможным. Учитывая, что
F
(х)
=P
(X
x
)
=P
(X
3)
+
P
(3X
x
)
,
получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F
(x
)
=
график которой изображен на рис. 4.2.
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х) =0=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D
(X
)=
M
(X
-
M
(X
))
или воспользоваться формулойD
(X
)=
M
(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной
величины Х
:
Найдем математическое ожидание для Х
:
М(Х
)
= 04
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D
(X
)
=
M
(X
)
– (M
(X
))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X
)
=
= 0,848.
Интервал (M
-
;
M
+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величиныХ
, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :
f
(x
)
=
1) Определить постоянный параметр a .
2) Найти интегральную функцию F (x ) .
3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .
4) Найти двумя способами вероятности
Р(0,5X
1,5)
иP
(1,5X
.
5). Найти математическое ожидание М(Х)
,
дисперсиюD
(Х)
и
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ
.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству
f
(x
)
должна удовлетворять условию
.
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :
Подставляя этот результат в левую часть
равенства, получим, что а
=1. В условии
дляf
(x
)
заменим параметра
на 1:
2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:
3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,
b
)
вычисляется по формуле
,
если известнафункция
f
(x
),
и по формуле P
(a
X
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
),
если известна
функция
F
(x
).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условиюа=0,5;
b
=1,5;
функцияf
(X
)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:
Так какF (0,5)=0.
Аналогично находим
так как F (3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х)
воспользуемся формулой
Функцияf
(x
)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия
непрерывной случайной величиныD
(Х)
определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для
нахожденияD
(X
)
воспользуемся последней формулой и
учтем, что все возможные значенияf
(x
)
принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М-
,М+
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:
1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:
2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n — частота (повторяемость фактора Х)
Пример нахождения дисперсии
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу дисперсии можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка
(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Виды дисперсии
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
Правило сложения дисперсии в статистике
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.
Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.
Свойства дисперсии
1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.